Figura 1: Construcción de una serie de modelos de velocidad M(φ). Cada curva muestra la evolución de un único valor de velocidad en función de φ. El modelo tiende a ser homogéneo (el mismo valor de velocidad en todas partes) a medida que φ se acerca a 0 o a 1 y las evoluciones son lineales en los dos segmentos. Los valores del modelo de velocidad real se encuentran como φ=0,5.
En una noticia anterior sobre la Inversión de Forma de Onda Completa (FWI) en ondas superficiales, mostramos un estudio preliminar con datos reales (conjunto de datos "Seignosse") suministrados por RealTimeSeismic. Llegamos a la conclusión de que debemos invertir más esfuerzos para hacer coincidir la simulación y los datos reales. Además, subrayamos la necesidad de revisar la función de coste debido a las características de las ondas superficiales. La función de coste actual del código Hawen se construye en el dominio Frecuencia-Espacio (FX), mientras que muchos estudios sugieren una formulación en el dominio Frecuencia-Número de Ondas (FK) para las ondas superficiales. Por lo tanto, comparamos las dos funciones de coste calculadas sobre una serie de modelos de velocidad M(φ). Obtenemos el modelo verdadero cuando φ=0,5.
La Figura 1 muestra la evolución de los modelos de velocidad en función de φ. Partimos de un modelo homogéneo con un valor de velocidad intermedia y terminamos en otro modelo homogéneo con una velocidad baja. En total había 28 modelos. Para cada uno de ellos se ha realizado una simulación con decenas de frecuencias y el resultado se ha comparado con la simulación de referencia realizada con el modelo verdadero. Medimos su distancia Euclidiana en los dominios FX y FK respectivamente. Las curvas de la función de costes para cada frecuencia y para todos los modelos de velocidad se pueden ver en la Figura 2: concretamente en la parte a y c, que muestran la evolución de la función de costes calculada en el dominio FX; y b y d muestran su evolución en el dominio FK. Las Figuras 2 c y d muestran la tendencia de las funciones de coste cerca del modelo real.
En general, las funciones de coste disminuyen monótonamente para frecuencias altas a medida que el modelo se acerca al verdadero (al menos en la mitad izquierda de las curvas). En el caso de las frecuencias bajas, la tendencia es más complicada: La Figura 2 a indica que la inversión podría estancarse aproximadamente en φ=0,3 si empezamos la FWI desde la mitad izquierda en el dominio FX. Y la Figura 2 b muestra que la FWI podría ir más allá a bajas frecuencias en el dominio FK a pesar de las oscilaciones después de φ=0,4. La mitad derecha de las curvas indican condiciones desfavorables para el FWI: las curvas son casi planas cuando φ>0,7, y aumentan a medida que φ se acerca a 0,5 para frecuencias bajas. Esto significa que es mejor evitar iniciar un FWI a partir de modelos homogéneos con bajas estimaciones de velocidad. La Figura 2 d destaca la mayor ventaja de la función de coste en el dominio FK con respecto a la del dominio FX mostrada en la Figura 2 c: la "cuenca de atracción" es mayor y más suave en el dominio FK, lo que constituye una condición favorable para la convergencia del resultado del FWI hacia el mejor modelo.
Figura 2: Curvas de función de coste calculadas para una serie de modelos de velocidad M(φ). Cada curva muestra la evolución de una función de coste en función de φ, es decir, un modelo de velocidad determinado. Las Figuras 2 a y c corresponden a la función de coste construida en el dominio FX mientras que las Figuras 2 b y d en el dominio FK. En las Figuras 2 c y d se destaca la parte central de la Figura 2 a y b, donde los modelos se aproximan al modelo real. Es evidente que la "cuenca de atracción", es decir, el valle cerca de φ = 0,5, es mayor y más suave en el dominio FK.
En conclusión, el dominio FK es potencialmente el apropiado en el que la FWI con fuertes ondas superficiales puede funcionar, ya que la función de coste muestra una "cuenca de atracción" más grande y suave. A día de hoy, en el marco del proyecto PIXIL, hemos construido una nueva función de coste en el dominio FK y actualmente la estamos probando con datos sintéticos.